第 3 節(jié) 一階電路的零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)：電路無外加激勵(lì)，僅由動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)（ zero-input response ）。

一、 RC 電路的零輸入響應(yīng)

圖 5.3-1 （ a ）電路， t=0 時(shí)開關(guān) S 由位置 1 撥到位置 2 ，討論換路后 時(shí)的電容電壓 、電容電流 等響應(yīng)的變化規(guī)律。

電路換路之前開關(guān) S 處于位置 1 ，直流電壓源 Us 對電容 C 充電，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，換路前的等效電路如圖 5.3-1 （ b ）所示。 時(shí)刻，電容電壓等于直流電壓源的電壓 Us ，即

時(shí)刻，電容與電壓源斷開，與電阻 R 形成新的回路，這時(shí)的等效電路如圖 5.3-1 （ c ）所示。

由換路定則得換路后電容電壓的初始值

電容電流的初始值為

圖 5.3-1 （ c ）電路，由 KVL ，可得

用積分變量分離法進(jìn)行求解，得

式中，

為 RC 電路的時(shí)間常數(shù)（ time constant ），當(dāng) R 的單位為Ω， C 的單位為 F 時(shí)，τ的單位是秒（ s ）。
 

時(shí)間常數(shù)：時(shí)間常數(shù)是反映一階電路過渡過程進(jìn)展快慢的一個(gè)重要的參數(shù)，其大小僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。τ越大，響應(yīng)衰減的速度就越慢；τ越小，響應(yīng)衰減的速度就越快。

用 表示電路換路后的響應(yīng)，用 表示該響應(yīng)的初始值，則 RC 一階電路的零輸入響應(yīng)可表示為

RC 電路零輸入響應(yīng)的規(guī)律

RC 電路換路后，各處的零輸入響應(yīng)都是從初始值開始，按指數(shù)規(guī)律衰減。衰減得快慢由時(shí)間常數(shù)τ決定。

二、 RL 電路的零輸入響應(yīng)

圖 5.3-3 （ a ）是 RL 動(dòng)態(tài)電路。電路換路之前開關(guān) S 處于位置 1 ， t=0 時(shí)開關(guān) S 由位置 1 撥到位置 2 。下面討論換路后 時(shí)的電感電流 、電感電壓 等響應(yīng)的變化規(guī)律。

時(shí)刻，電路換路之前開關(guān) S 處于位置 1 ，直流電流源 Is 對電感 L 充電，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，換路前的等效電路如圖 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 時(shí)，開關(guān) S 撥到位置 2 ， 時(shí)，電感與電流源斷開，而與電阻 R 形成新的回路，這時(shí)的等效電路如圖 5.3-3 （ c ）所示。

由換路定則得換路后電感電流的初始值為

電感電壓的初始值為

對于圖 5.3-3 （ c ）電路，由 KVL 可得

采用積分變量分離法進(jìn)行求解，得

式中，稱為 RL 電路的時(shí)間常數(shù)，當(dāng) R 的單位為Ω， L 的單位為 H 時(shí)，τ的單位為秒（ s ）。

總 結(jié)

電容、電感動(dòng)態(tài)元件在電路中充電和放電的過程，實(shí)際上是動(dòng)態(tài)元件與電路的能量交換過程，動(dòng)態(tài)元件本身并不耗能。

圖 5.3-1 電路中，電路換路之前電容處于充電狀態(tài)，電容從電壓源吸收能量并儲(chǔ)存起來，電路換路之后，電容又開始放電，釋放的能量被電阻 R 所消耗，零輸入響應(yīng)就是一個(gè)放電的過程。

三、一階電路零輸入響應(yīng)的計(jì)算
 

計(jì)算步驟

1 、畫出 時(shí)刻的等效電路。這時(shí)電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在直流激勵(lì)作用時(shí)，將電容當(dāng)作開路，將電感當(dāng)作短路，求出 或 ，并根據(jù)換路定則，求得電路的初始狀態(tài)。若需要計(jì)算電路中其它響應(yīng)，再根據(jù)初始狀態(tài)計(jì)算這些響應(yīng)的初始值。

2 、求電路的時(shí)間常數(shù)τ。對于 RC 電路， ，對于 RL 電路， 。其中， R 為從電容 C 或電感 L 兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻。

3 、求出零輸入響應(yīng)

例 5.3-1 圖 5.3-5 （ a ）所示電路中，開關(guān)原來處于位置 1 ，且電路已處于穩(wěn)態(tài)， t=0 時(shí)刻開關(guān) S 撥到位置 2 ，求 時(shí)的 ， 和 。

解： 1. 求初始值 ， 和

作出電路換路前 時(shí)刻的等效電路，如圖 5.3-5 （ b ）所示，這時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路，并由換路定則得

時(shí)刻的等效電路如圖 5.3-5 （ c ）所示，兩個(gè) 100 K Ω的電阻并聯(lián)，所以

2 ．求時(shí)間常數(shù)τ

圖 5.3-5 （ c ）電路中無外加激勵(lì)，只有電容的初始電壓通過兩個(gè)電阻放電，因此，產(chǎn)生的響應(yīng)為零輸入響應(yīng)。這時(shí)，從電容兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻是兩個(gè) 100 K Ω的電阻并聯(lián)，所以R=100K ∥ 100K=50K Ω

則時(shí)間常數(shù)為

3 ．電路換路后 時(shí)的響應(yīng)為