第 1 節 疊加定理和齊次定理

一、疊加定理

圖 4.1-1 （ a ）所示電路中，有兩個激勵，即獨立電壓源 和獨立電流源 ，現欲求 R1 支路上的電流 。

 

用網孔電流法求解。設網孔電流分別為 ，其方向都為順時針方向，如圖 4.1-1 （ a ）所示。網孔方程為

解方程得，網孔電流為

所以， R1 支路電流為

其中， 可以看成是當 時的 的值， 則可看成是當 時的 的值。如圖 4.1-1 （ b ）、（ c ）。

令

則

其中， k1 ， k2 是由電路的結構和元件的參數決定的。對于線性電路， R1 、 R2 、 R3 都是常數，不會隨著電路中激勵的數目和大小的改變而改變，所以 k1 ， k2 也不會隨激勵的改變而改變，即為常數。 i 是激勵的一次線性函數。

疊加定理

（ superposition theorem ）

由線性元件組成的線性電路，當 n 個激勵共同作用時，在某條支路上產生的響應，等于各個激勵單獨作用時產生的響應的代數和。

其中， 表示 n 個激勵（獨立電壓源或獨立電流源）， r 表示某條支路上產生的響應（電壓或電流）。 都是常數，其大小由電路的結構和元件的參數決定。

應用疊加定理時應注意的問題

1 ．疊加定理是線性電路的一個重要性質，因此只適用于線性電路，對于非線性電路則不能使用。

2 ．當某個激勵單獨作用時，其他激勵均取 0 。將獨立電壓源取 0 ，是把電壓源短路，將獨立電流源取 0 是把電流源開路。

3 ．受控源雖然帶有電源的性質，但不直接起激勵作用，因此，在疊加定理中，受控源一般不單獨作用，而是把受控源當電路元件處理。當獨立源單獨作用時，受控源應保留在電路中。

4 ．疊加定理只適用于計算電壓或電流，而不適用于計算功率，因為功率與電壓、電流之間的關系不是線性關系。

例 4.1-1 圖 4.1-2 （ a ）所示電路，試用疊加定理求 3 Ω電阻上的電壓 U 及功率。

解：電路中有兩個獨立源共同激勵。

1 、當 12V 電壓源單獨激勵時，電流源應視為 0 ，即把電流源開路，如圖 4.1-2 （ b ）所示。

由分壓公式，得

 

2 、當 3A 電流源單獨激勵時，電壓源應視為 0 ，即把電壓源短路，如圖 4.1-2 （ c ）所示。對圖 4.1-2 （ c ）電路作變換，得圖 4.1-2 （ d ）所示電路。

 

3 、當電壓源和電流源共同作用時，由疊加定理得 3 Ω電阻上的電壓

3 Ω電阻上的功率為

注 意

計算功率時，不能用疊加定理。

例 4.1-2 用疊加定理計算圖 4.1-3 （ a ）所示電路中受控源兩端電壓及功率。

 

解：當 4V 電壓源單獨作用時，電流源視為開路，其電路如圖 4.1-3 （ b ）所示，對圖中所示的回路，利用 KVL ，得

所以，

則

當 2A 電流源單獨作用時，電壓源視為短路，其電路如圖 4.1-3 （ c ）所示，對圖中所示的回路，利用 KVL ，得

所以，

則

因此，當電壓源和電流源共同作用時，利用疊加定理得

受控源兩端電壓為

受控源的功率為

二、齊次定理

齊次定理

（ homogeneity theorem ）

當線性電路中只有一個獨立源作用時，電路的響應與激勵成正比。

推 論：對于線性電路，若所有激勵同時擴大（或縮小） K 倍，則電路中任一支路的響應也擴大（或縮小） K 倍。

例 4.1-3 圖 4.1-4 所示的梯形電路中， Us=6V ，試用齊次定理計算支路電流 I5 。

 

解：這個電路是由電阻的串、并聯組成，可以用等效電路的分析方法進行計算，但是用齊次定理計算會更方便。先設 I5 支路電流為 ，則

所以，

故

根據齊次定理，激勵 與響應 成正比，即

因此，

注 意

應用疊加定理和齊次定理時，當激勵的參考方向反向時，相當于激勵變為原來的－ 1 倍。

 

例 4.1-4 圖 4.1-5 所示電路中， N 是不含獨立源的線性網絡，有 3 個獨立源共同激勵， a 、 b 兩端的電壓 為 10V 。當電壓源 和電流源 反向而 不變時， 變為 5V ；當電壓源 和電流源 反向而 不變時， 變為 3V 。試問：只有電流源 反向而電壓源 和 不變時， 變為多少？

解：由于是線性電路，所以可用疊加定理。 3 個獨立源共同激勵，電路的響應

（ 1 ）

式中， 為常數，由電路的結構和元件的參數決定。

當電壓源 和電流源 反向而 不變時，電路的結構和元件的參數不變， 的大小不變，而 都要乘以系數－ 1 ，這時的 a 、 b 兩端的電壓為

（ 2 ）

又當電壓源 和電流源 反向而 不變時， 乘以系數－ 1 ， a 、 b 兩端的電壓為

（ 3 ）

(2) ＋ (3) ，得

（ 4 ）

所以，當只有電流源 反向而電壓源 和 不變時， a 、 b 兩端的電壓為