一、卡諾圖概念

　　卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種圖形表示。一個邏輯函數(shù)的卡諾圖就是將此函數(shù)的最小項表達(dá)式中的各最小項相應(yīng)地填入一個方格圖內(nèi)，此方格圖稱為卡諾圖。卡諾圖的構(gòu)造特點使卡諾圖具有一個重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項。兩個相鄰最小項可以合并為一個與項并消去一個變量。

　　二、卡諾圖結(jié)構(gòu)特點

　　卡諾圖中最小項的排列方案不是唯一的，變量的坐標(biāo)值0表示相應(yīng)變量的反變量，1表示相應(yīng)變量的原變量，變量的取值變化規(guī)律按“循環(huán)碼”變化［1］。各小方格依變量順序取坐標(biāo)值，所得二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即相應(yīng)最小項的下標(biāo)i。

　　在五變量卡諾圖中，為了方便省略了符號“m”，直接標(biāo)出m的下標(biāo)i。

　　歸納起來，卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個特點：

　　☆n個變量的卡諾圖由2^n個小方格組成，每個小方格代表一個最小項；

　　☆卡諾圖上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。

　　可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項。兩個相鄰最小項可以合并為一個與項并消去一個變量。

　　三、卡諾圖的性質(zhì)

　　卡諾圖的構(gòu)造特點使卡諾圖具有一個重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項合并。合并的理論依據(jù)是并項定理AB+AB=A。例如，

　　根據(jù)定理AB+AB=A和相鄰最小項的定義，兩個相鄰最小項可以合并為一個與項并消去一個變量。例如，4變量最小項ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；而與項ABD和ABD又為相鄰與項，故按同樣道理可進(jìn)一步將兩個相鄰與項合并為BD。

　　用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理就是把上述邏輯依據(jù)和圖形特征結(jié)合起來，通過把卡諾圖上表征相鄰最小項的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個簡單“與”項代替若干最小項的目的。

　　通常把用來包圍那些能由一個簡單“與”項代替的若干最小項的“圈”稱為卡諾圈。

　　邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

　　1．給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

　　當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

　　例如，3變量函數(shù)F（A，B，C）=∑m（1，2，3，7）的卡諾圖如圖2．6所示。

　　圖2．6函數(shù)F（A，B，C）=∑m（1，2，3，7）的卡諾圖

　　2．邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式

　　當(dāng)邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式時，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。

　　例如，4變量函數(shù)F（A，B，C，D）=AB+CD+A·BC的卡諾圖如圖2．7所示。

　　圖2．7函數(shù)F（A，B，C，D）=AB+CD+A·BC的卡諾圖

　　填寫該函數(shù)卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項”AB、CD、A·BC對應(yīng)的小方格填上1，便可得到該函數(shù)的卡諾圖。

　　當(dāng)邏輯函數(shù)表達(dá)式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。

　　為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。

　　四、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

　　1．幾個定義

　　蘊涵項：在函數(shù)的“與-或”表達(dá)式中，每個“與”項被稱為該函數(shù)的蘊涵項（Implicant）。

　　顯然，在函數(shù)卡諾圖中，任何一個1方格所對應(yīng)的最小項或者卡諾圈中的2m個1方格所對應(yīng)的“與”項都是函數(shù)的蘊涵項。

　　質(zhì)蘊涵項：若函數(shù)的一個蘊涵項不是該函數(shù)中其他蘊涵項的子集，則此蘊涵項稱為質(zhì)蘊涵項（PrimeImplicant），簡稱為質(zhì)項。

　　顯然，在函數(shù)卡諾圖中，按照最小項合并規(guī)律，如果某個卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的“與”項為質(zhì)蘊涵項。

　　必要質(zhì)蘊涵項：若函數(shù)的一個質(zhì)蘊涵項包含有不被函數(shù)的其他任何質(zhì)蘊涵項所包含的最小項，則此質(zhì)蘊涵項被稱為必要質(zhì)蘊涵項（EssenTIalPrimeImplicant），簡稱為必要質(zhì)項。

　　在函數(shù)卡諾圖中，若某個卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的“與”項為必要質(zhì)蘊涵項。

　　2．求函數(shù)最簡“與-或”表達(dá)式

　�。�1）一般步驟：

　　第一步：作出函數(shù)的卡諾圖。

　　第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項。按照卡諾圖上最小項的合并規(guī)律，對函數(shù)F卡諾圖中的1方格畫卡諾圈。為了圈出全部質(zhì)蘊涵項，畫卡諾圈時在滿足合并規(guī)律的前題下應(yīng)盡可能大，若卡諾圈不可能被更大的卡諾圈包圍，則對應(yīng)的“與”項為質(zhì)蘊涵項。

　　第三步：從全部質(zhì)蘊涵項中找出所有必要質(zhì)蘊涵項。在卡諾圖上只被一個卡諾圈包圍的最小項被稱為必要最小項，包含必要最小項的質(zhì)蘊涵項即必要質(zhì)蘊涵項。為了保證所得結(jié)果無一遺漏地覆蓋函數(shù)的所有最小項，函數(shù)表達(dá)式中必須包含所有必要質(zhì)蘊涵項。

　　第四步：求出函數(shù)的最簡質(zhì)蘊涵項集。若函數(shù)的所有必要質(zhì)蘊涵項尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格，則從剩余質(zhì)蘊涵項中找出最簡的所需質(zhì)蘊涵項，使它和必要質(zhì)蘊涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。

　�。�2）舉例

　　例1用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（0，3，5，6，7，10，11，13，15）。

　　解根據(jù)卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：

　　該題中，5個必要質(zhì)蘊涵項已將函數(shù)的全部最小項覆蓋，故將各卡諾圈對應(yīng)的與項相或即可得到函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)式為

　　F（A，B，C，D）=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD

　　例2用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（2，3，6，7，8，10，12）。

　　解根據(jù)卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：

　　由圖可知，該函數(shù)包含兩個必要質(zhì)蘊涵項，即AC和AC·D。在選取必要質(zhì)蘊涵項之后，尚有最小項m10未被覆蓋。為了覆蓋最小項m10，可選質(zhì)蘊涵項BCD或者AB·D，由于這兩個質(zhì)蘊涵項均由3個變量組成，故可任選其中之一作為所需質(zhì)蘊涵項，即F的最簡質(zhì)蘊涵項集可為

　　{AC，AC·D，BCD}或者{AC，AC·D，AB·D}

　　因而，可求得函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)式為

　　F（A，B，C，D）=AC+AC·D+BCD或者F（A，B，C，D）=AC+AC·D+AB·D

　　這里，函數(shù)F的最簡“與-或”式有兩個，其復(fù)雜程度相同。由此可見，一個函數(shù)的最簡“與-或”表達(dá)式不一定是唯一的！

　　歸納起來，卡諾圖化簡的原則是：

　　☆在覆蓋函數(shù)中的所有最小項的前提下，卡諾圈的個數(shù)達(dá)到最少。

　　☆在滿足合并規(guī)律的前題下卡諾圈應(yīng)盡可能大。

　　☆根據(jù)合并的需要，每個最小項可以被多個卡諾圈包圍。

　　3.求函數(shù)的最簡“或-與”表達(dá)式

　　當(dāng)需要求一個函數(shù)的最簡“或-與”表達(dá)式時，可采用“兩次取反法”。

　　具體如下：

　　☆先求出函數(shù)F的反函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)（合并卡諾圖上的0方格）；

　　☆然后對F的最簡“與-或”表達(dá)式取反，從而得到函數(shù)F的最簡“或-與”表達(dá)式。

　　例如，用卡諾圖求邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（3，4，6，7，11，12，13，14，15）的最簡“或-與”表達(dá)式。

　　解首先畫出函數(shù)F的卡諾圖如圖2．13所示。

　　圖中，F(xiàn)的0方格即反函數(shù)F的1方格，它們代表F的各個最小項，將全部0方格合并就可得到反函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)式

　　F（A，B，C，D）=AB+CD+BD

　　再對上述函數(shù)式兩邊取反，即可求得函數(shù)的最簡“或-與”表達(dá)式

　　卡諾圖化簡邏輯函數(shù)具有方便、直觀、容易掌握等優(yōu)點。但依然帶有試湊性。尤其當(dāng)變量個數(shù)大于6時，畫圖以及對圖形的識別都變得相當(dāng)復(fù)雜。