一、傅里葉變換

　　傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)城種很重要的算法。傅里葉表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理的傅里葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅里葉變換算法對應(yīng)的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。

　　因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時城信號。現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)：

　　1.傅里葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；

　　2.傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；

　　3.正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取；

　　4.著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

　　5.離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT））。

　　正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

　　二、傅里葉變換的意義

　　眾所周知，我們一直將傅里葉級數(shù)、博里葉變換、FFT看作是向頻譜空間的變換，這從其三角級數(shù)的形式本身可以看出，當然對于復(fù)數(shù)形式，我們也可以借助量子力學(xué)解釋，其展開函數(shù)正是動量的本征函數(shù)，因此傅里葉變換正是向動量空間的變換，而我們知道動量空間實際上與頻率空間是一致的。事實上，正是由于傅里葉級數(shù)傅里葉變換、FFT所具有的這個物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應(yīng)用。

　　而另一方面，我們從傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級數(shù)的實際應(yīng)用例子中可以明顯地看到它們在解決實際問題時的思路無外乎以下兩點：

　　（1）將復(fù)雜的問題分解為若干簡單的問題求解；

　　（2）將糾纏的問題通過變換分離開來；

　　（3）如果我們拋開傅里葉級數(shù)法、傅里葉變換本身，面儀從這兩點出發(fā)，我們便可以看到傅里葉級數(shù)法，博里葉變換的更深層次的意義。它為我們提供了一種解決問題的思路，如果我們可以用不同的變換方法將復(fù)雜的問題分解化，將糾細的問題分離化，我們就可以用這種變換來處理問題。

　　三、傅里葉變換的應(yīng)用

　　1.模板運算與卷積定理

　　在時域內(nèi)做模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。模板運算是圖像處理一個很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據(jù)卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。因此，在時域內(nèi)對圖像做模板運算就等效于在頻域內(nèi)對圖像做濾波處理。

　　比如說一個均值模板，其頻域響應(yīng)為一個低通濾波器；在時域內(nèi)對圖像作均值濾波就等效于在頻域內(nèi)對圖像用均值模板的頻域響應(yīng)對圖像的頻域響應(yīng)作一個低通濾波。